Question

高等数学，二阶导数的符号d2y/dx2怎么理解？求大学数学高手

那个符号为什么写成这种形式？以前一直以为那个符号只是认为规定，约定俗成的符号而已，现在越学高数越觉得，那符号意义绝不是那么简单，求高手讲明白它的来源！
分子的dx2理论上是不是应该写成(dx)2？
比如欧拉微分方程中有这样的运算：它把d/dt这个求导运算符当成了一个整体或者说一个数字来参与运算，例如d2y/dt2-dy/dt=(d2/dt2-d/dt)y=(D^2-D)y=D(D-1)y，这种代换不是跟那个导数符号有关吗？比如说以上过程中有个d2/dt2被D^2替换了，感觉(d/dt)是个整体，从而D^2=(d/dt)^2=d2/dt2，请问一节导数算子d/dt和二阶导数算子之间为什么具有平方关系？

Answer 1

1. 理解二阶差分的含义

当自变量从x变到x+1时，函数y=y(x)一阶差分的差分

Δ(Δy(x))=Δ(y(x+1) - y(x))=Δy(x+1) - Δy(x)

=(y(x+2) - y(x+1)) - (y(x+1) - y(x))

=y(x+2) - 2y(x+1) + y(x)

称为二阶差分。

注意这的几个因变量对应的自变量之间均分别相差1

其实这里应该先了解一阶差分的概念由于比较简单这里不多赘述

2.理解一阶微分的含义

如果我们把自变量之间的间距表示为△x=(x-x0)

当x无限趋近于x0时

lim(x->x0)△x=dx

这里的dx就是一阶微分的通常表达形式

3.理解二阶微分的含义

当我们把二阶差分里的间距从1缩小到dx时就形成了二阶微分

即

lim(△x->0) f(x+△x)-f(x)-(f(x)-f(x-△x))

=lim(△x->0) f(x+△x)-2f(x)+f(x-△x)

一阶微分通常记作df(x)

对于二阶微分通常记作d^2f(x)

注意：因为接下来讨论的导数必须涉及所求点的函数值所以这里把中间点定为f(x)

4.熟记一阶导数定义

5.熟记二阶导数的定义

6.推导二阶导数的微分形式

f''(x)

=lim(△x->0) f'(x0+△x)-f'(x0)/△x                                        先写定义式

=lim(△x->0) ((f(x0+△x)-f(x0)/△x)-(f(x0)-f(x0-△x))/△x)/△x  把式中一阶导数替换为定义形式

=lim(△x->0) (f(x0+△x)-2f(x0)+f(x0-△x))/△x^2                  整理

不难看出式中的分子就是f(x)的二阶微分而分母就是x一阶微分的平方

由前面的 2 和 3 可得分子分母分别可以表示为d^2f(x)和dx^2

因此下式成立

f''(x)=d^2f(x)/dx^2

Answer 2

我也在找这个问题的答案。
重点是：微分。 dy dt dx 都是微分。 记住这个概念。可以翻书复习一下。
导数也是一个独立概念。
然后导数和微分 根据各自的定义 推导出 公式 y` = dy / dx 就是这样的。 完毕。
但是二阶导数的关系，我纳闷了。 正在琢磨。 分子，分母 都是平方。但是平方的地方不一样。我也不懂。 同求答案
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虽然这个问题，我还是没解决。但是欧拉方程跟这个关系不大。 那个d(d-1) 这些可以当成助记符。 和方程的计算没有关系。 最后的运算，他还是把d都乘开了啊。 所以有一种可能是咱们想多了。 我暂时告一段落。 方程能解出来，就好。

另外我提供一个思路，s t vt at 找物理这样理解把。不伤脑

Answer 3

数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx 表示：f(x)的一阶导数
f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx 表示：f(x)的二阶导数

Answer 4

不得不说你是细心的同学啊，我还从来没在意过这些东西，我觉得你说的有道理，不过我觉得那个二阶导数D^2就是一种代表形式吧。

Answer 5

我也才明白不久。那个d^ny/dx^n是莱布尼茨表示微分的方法。在我的理解中，d^nx代表微分的叠加，而dx^n代表可导的次数，不知道这样理解对不