Question

求微分方程的特解 y'+ycosx=sinxcosx,y(0)=1

Answer 1

由y'+ycosx=0得dy/y=-cosxdx,
lny=-sinx+c0,
y=ce^(-sinx).
设y=c(x)*e^(-sinx)是原方程的解，则
y'=[c'(x)-c(x)cosx]e^(-sinx),
代入原方程得c'(x)e^(-sinx)=sinxcosx,
∴c'(x)=sinxcosx*e^sinx,
∴c(x)=∫sinxcosx*e^sinx*dx
=∫te^tdt(t=sinx)
=te^t-e^t+C1
=sinx*e^sinx-e^sinx+C1,
∴y=(sinx*e^sinx-e^sinx+C1)e^(-sinx),
又y(0)=1,
∴1=-1+C1,c1=2,
∴y=(sinx*e^sinx-e^sinx+2)e^(-sinx),

Answer 2

我有一个简单而且正确的方法：
注意到：(1+sinx+cosx)(1-sinx-cosx)=1-(sinx+cosx)^2=-2sinxcosx ……①,所以：
（1）当1+sinx+cosx＝0时容易知道sinx,cosx中有一个是0。此时(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝0。
（2）当1+sinx+cosx≠0时，由①式(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝-1/2*(1-sinx-cosx)=-1/2+(sinx+cosx)/2.
而由于sinx+cosx=√2*sin(x+π/4),所以-√2≤sinx+cosx≤√2.因此-(√2+1)/2≤-1/2+(sinx+cosx)/2≤(√2-1)/2。
综上所述，y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域是[-(√2+1)/2,(√2-1)/2].