Question

排列组合 关于均分问题的疑问

有两个题目:
1) 桥牌比赛中有四个选手参加 每人分到13张牌 一共有多少种分法?
2) 有12个人, 分为两组，每组6人, 有多少种分法?
3) 10个小孩分成两组,每组5人进行篮球比赛,一共有多少种分法?

请问这三个问题解题思路有什么不同, 哪个需要除以组的阶乘, 哪个不需要? 为什么? 多谢, 麻烦详细解答下, 多谢

Answer 1

3个问题大的思路可以都一样。用阶乘表示所有个数的排列，然后除以每个组内的排列。细节上的差别是： 所分成的组是否是 有区分的。
1. 52！/（13!)^4 // 4个选手是有区分的。 即把两选手的牌互换，是不一样的。
3. 10!/(5!)^2/2=C(10,5)/2 // 2组球队是没区分的。 即甲乙两队的队员全部互换，算相同的分组。
2. 此题不定。
12!/(6!)^2 =C(12,6) // 如果把所分两组当成 有区分的。
12!/(6!)^2/2=C(12,6)/2 // 如果把所分两组当成 没有区分的。

2,3中最后的除2， 是因为两组是不区分的。

追问

回答的太好了, 麻烦再问个弱弱的问题, 为什么要除以组的阶乘... 比如有3组,就除以3!,4就除以4!, 有点转不过来弯,麻烦指教下 多谢 呵呵

追答

除以组的阶乘 是去掉组的次序。
以题1为例。可以看成是把52张牌（共52！排法） 从上往下取，第一个13张给A,（因此这13张内部之间的次序对分法不影响，于是除13！） 第二个13张给B,。。。。
注意，这样做，意味着，A，B,C,D 仍是有先后次序。 （这题也要求如此）。如果只是把牌分成相等的4堆，则要去掉这先后次序。即 4堆排序有4！种，其给出相同的分堆。所以得除4！