Question

求函数f（x）=sin5xcosx的最小正周期

答案是：f（x）=1/2（sin6x+sin4x），因为sin6x和sin4x分别是以π/2和π/3为周期的函数，所以f（x）最小正周期为π。。。想问第一：为什么sin5xcosx=1/2（sin6x+sin4x）；第二：为什么知道sin6x和sin4x的周期后就能知道f（x）的周期

Answer 1

（1）使用的是积化和差公式，请参考http://baike.baidu.com/link?url=fkGULsNx_qkmZj7qdPTo_GwBabkp2Mr9adSulr1akIgGQwoda58cAlR1estSTJR1IQ3l05MesL2nxpVU1-Trha

所以

sin5xcosx=1/2[sin(5x+x)+sin(5x-x）]=1/2（sin6x+sin4x）

（2）

是因为π/2和π/3的最小公倍数为π （π是π/2的2倍，π是π/3的3倍）

Answer 2

求函数f（x）=sin5xcosx的最小正周期
解：f(x)=sin5xcosx=(1/2)[sin(4x)+sin(6x)]【积化和差公式：sinAcosB=(1/2)[sin(A-B)+sin(A+B)]】
sin4x的最小正周期T₁=2π/4=π/2；sin6x的最小正周期T₂=2π/6=π/3；
由于π/(π/2)=2，π/(π/3)=3，因此π/2与π/3的最小公倍数是π，于是可知f(x)的最小正周期是π。
【2×(π/2)=π，3×(π/3)=π，或者说，π是π/2的2倍，是π/3的3倍。】
【事实上，f(x+π)=sin[5(x+π)]cos[(x+π)]=sin(π+5x)cos(π+x)=(-sin5x)(-cosx)=sin5xcosx=f(x)，
故π确实是f(x)的最小正周期。】
【比如，f(x)=sinx+(1/2)sin2x+(1/3)sin3x的最小正周期是2π。因为sinx的周期是2π；sin2x的周期
是π；sin3x的周期是2π/3；而2π是2π的1倍，是π的2倍，是2π/3的3倍，即2π是这三个周期的最
小公倍数，故f(x)的周期是2π。】

Answer 3

1，积化和差的公式
2，两项周期的最小公倍数是其周期这是显然的。为什么最小这里解释感觉还不够。需要论证为什么不存在更小的周期。
比较显然的方法是，从sin5xcosx本身着手。如果这个函数有小于pi的周期，那么肯定是pi/n，n是一个整数。所以要证明不存在小于pi/2的周期。画一下sin5x和cosx的图像，可以看到，两者相乘之后的最大值在0到pi的区间内，肯定坐落在[0p,i/10]之间和[9/10pi,pi]之间。一个周期不可能小于两个最大峰值之间的距离，所以不存在小于4/5pi的周期。

Answer 4

第一个问题：
积化和差公式：sinacosb=(1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)]
第二个问题：
若F(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)的最小正周期为T1，g(x)的最小正周期为T2
则F(x)也是周期函数，其最小正周期为T1和T2的最小公倍数。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O