Question

f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2

已知函数f(x)满足:对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时，f(x)>2.
(1)求f(0)的值，并证明：当x<0时，1<f(x)<2;

(2)判断f(x)的单调性并加以证明；

（3）若g(x)=f(x)-k的绝对值在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围

Answer 1

答：

1）
令y=0：f(x)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2
f(x)*[f(0)-2]=f(0)-2
[ f(x)-1 ]*[f(0)-2]=0
因为：x>0时，f(x)>2
所以：f(0)-2=0
所以：f(0)=2

f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2=[ f(x)-1 ]* [ f(y)-1 ] +1
f(x+y) -1 =[ f(x)-1 ]* [ f(y)-1 ]
设x+y=0，y=-x：f(0)-1= [ f(x)-1 ]* [ f(-x) -1]=1
x>0时，f(x)>2：f(x)-1=1/ [f(-x)-1]>1
所以：0<f(-x)-1<1
所以：1<f(-x)<2
所以：x<0时，1<f(x)<2

2）
设a>b，a-b>0，f(a-b)>2，f(b)>1
f(a)-f(b)=f(a-b+b)-f(b)
=f(a-b)f(b)-f(a-b)-f(b)+2-f(b)
=f(a-b)*[f(b)-1]-2*[f(b)-1]
=[ f(a-b) -2]* [f(b)-1]
>0
所以：f(a)>f(b)
所以：f(x)是单调递增函数

3）
g(x)=|f(x)-k|在x<0时单调递减
f(x)<k时，g(x)=k-f(x)是单调递减函数
f(x)>k时，g(x)=f(x)-k是单调递增函数
因为：x<0，f(x)<f(0)=2
所以：f(x)<f(0)=2<=k
所以：k>=2