Question

已知定义域为r的函数f（x）对任意实数x、y都有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）

且f（x）≠0求证f（x）为偶数 求速度啊！

Answer 1

将x=0，y=0代入得f（0+0）+f（0-0）=2f（0）f（0）
即2f（0）=2f（0）²，∵f（0）≠0，∴f（0）=1
将x=0,代入得f（0+y）f（0-y）=2f（0）f（y）
即f（y）+f（-y）=2f（y）∴f（y）=f（-y）
∴f（x）是偶函数

Answer 2

可以得出这样的结论
定义在R上的函数f（x），若f（0）≠0 且f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）
则函数f（x）是偶函数。

具体例子：
cos（0）≠0
cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb
但不能推出，定义在R上的偶函数，只要f（0）≠0就一定有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）

Answer 3

令y=0
f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
得f（0）=1
令x=0
f（y）+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
得f（-y）=f（y）
于是f（x）为偶函数