Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD= 6

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=6．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求点F到平面PCE的距离；
（3）求直线FC平面PCE所成角的大小．
题中CD=根号6

Answer 1

我来完成任务。

（1）设G为AC的中点，连接EG，FG

∵FG为△PCD的中位线

∴FG∥CD∥AE

又∵E为AB的中点

∴AE=FG

∴AEGF为平行四边形

∴AF∥EG

∴AF∥平面PCE

追问

后两问呢

追答

(2)等体积法
设F到平面PEC的距离为h
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥EA
又∵ABCD为矩形
∴EA⊥AD
∴EA⊥平面PAD
∴AEGF为矩形
∵△PAD为等腰RT△
∴PF是P-AEGF的高
所以四棱锥P-AEGF的体积=PF*FG*AF/3=(3√2/2)*(√6/2)*(3√2/2)/3=3√6/4
PE=EC=√11，PC=2√6，余弦定理求cos∠PEC=-1/11，sin∠PEC=2√30/11
正弦定理S△PEC=√30；
三棱锥F-PEC体积=S△PEC*h/3
又因为四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积
所以√30h=9√6/4，则h=9√5/20
所以F点到平面PEC的距离为9√5/20
(3)FC=√42/2
设FC与平面PEC所成的角为α
则α的正弦值=F到平面的距离÷FC的长
sinα=h/FC=9√210/420
α=arcsin(9√210/420)
晕，这个数据不知道算对没有，思路和方法正确。
有疑问欢迎追问！

Answer 2

1.做CD中点G，证明平面AGF平行于平面PCE即可。