Question

求解 速度快的有分加。

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Answer 1

17.
解：a = √3, b = 4, C = π/6
根据余弦定理，
c^2 = a^2 + b^2 - 2abCosC
= 3 + 16 - 2*√3*4*Cosπ/6
= 7
∴c = √7.
根据正弦定理，
b / SinB = c / SinC
∴SinB = b SinC / c
= 4 * Sinπ/6 / √7
= 2√7/7.

18.
解：
设{a_n}的首项为a, 公比为q.
那么，由题意可知，
①aq = 6,
②6a + aq^2 = 30.
①代入②：6a + 6q = 30, 即a + q = 5.
因此，a=2, q=3或a=3, q=2。
当a=2, q=3时：
a_n = 2 * 3^{n-1}
S_n = 2 * (1 + 3 + ... + 3^{n-1}) = 3^n - 1.
当a=3, q=2时：
a_n = 3 * 2^{n-1}
S_n = 3 * (1 + 2 + ... + 2^{n-1}) = 3(2^n - 1).

19.
证明：
(1)
取A1D中点F，连结EF，AF.
在△A1CD中，E是A1C中点，F是A1D中点，
∴EF是△A1CD的中位线，
EF // CD且EF = CD/2.
又∵AB // CD, AB = CD/2,
∴AB // EF, AB = EF.
因此四边形ABEF是平行四边形，BE // AF.
而AF包含于平面AA1D1D，
∴BE // 平面AA1D1D。
(2)
取CD的中点G, 连结B1G, AG.
由于ABCD-A1B2C1D1是直四棱柱,
故A1B1 // AB // CD, A1B1 = AB = CD/2 = DG.
因此四边形A1B1GD是平行四边形，A1D // B1G.
另一方面，由于AB // CG, AB = CG,
因此同理有BC // AG.
综上，A1D和BC所成的角就是AG和GB1所成的角.

∵BE ⊥ A1CD, A1D包含于平面A1CD,
∴BE ⊥ A1D.
∵BE // AF,
∴AF ⊥ A1D.
但是F是A1D的中点，故根据垂直平分线的性质，AA1 = AD.

设AB = a, 则CD = AD = AA1 = 2a.
根据勾股定理，
B1G = A1D = 2√2a,
AG = √5a,
AB1 = √5a.
最后，在△AB1G中用余弦定理，得
Cos∠AGB1 = (AG^2 + GB1^2 - AB1^2)/(2*AG*GB1)
= (5a^2 + 8a^2 - 5a^2)/(2*√5a*2√2a)
= √10/5.

20.
题目明显有问题，C1的方程是x^2 + y^2 = -2，无解。
(I)的解题方法是因为同时外切，所以CC1 = d1 + r, CC2 = d2 + r, 从而|CC2| - |CC1|是定值，于是C是双曲线的一支。
(II)想来会成为两个根号相减的情况，利用三角代换，tan t和sec t来消去根号，然后求三角函数的最值。

21.
证明：
(I)取AC中点T，连结ST.
∵AS=CS,
∴ST ⊥ AC.
∵SAC ⊥ ABC, AC是交线
∴S在平面ABC上的投影就是T, ST ⊥ ABC.
另一方面，T是AC的中点，AB = BC,
∴BT ⊥ AC.
∴根据三垂线定理，SB ⊥ AC.

(II)
先想办法求出，或者说找到，该二面角的平面角。
为了找到S在CM上的垂足，尝试求SM的长度：
做MN ⊥ AC于N.
由已知，AS = CS = 2√2, AC = 4,
∴ST = AT = 2.
另一方面，△ABC是边长为4的正三角形，
∴CM = 2√3, AM = 2.
∴AN = 1, 从而NT = 1, MN = √3.
因此，SM^2 = ST^2 + TN^2 + NM^2 = 4 + 1 + 3 = 8,
SM = 2√2 = SC.
所以△SCM是等腰三角形，腰长2√2, 底长2√3, S在CM上的垂足就是CM中点，设其为R. MR = √3. RS = √5.

由于AM ⊥ CM, SR ⊥ CM, 且CM为二面角S-CM-A的棱，所以AM和SR所成的角就是二面角S-CM-A的的平面角。
求该平面角的方法很简单，根据勾股定理和余弦定理：
SA^2 = AM^2 + MR^2 + RS^2 - 2*AM*RS*Cos∠S-CM-A,
8 = 4 + 3 + 5 - 2*2*√5*Cos∠S-CM-A
Cos∠S-CM-A = 1/√5.
因此，∠S-CM-A = ArcCos √5/5.

22.
解：
(1)
P(-√2, 1)在椭圆上，故代入椭圆方程，应有2/a^2 + 1/b^2 = 1. ……①
F2的坐标是(c, 0), 且b^2 + c^2 = a^2. ……②
由题意，M必为线段PF2的中点，所以M的坐标为((-√2 + c)/2, 1/2).
而M又在y轴上，所以c = √2. ……③
由①②③, 解得
b = √2, a = 2.
因此，C的方程为x^2 / 4 + y^2 / 2 = 1.

(2)
设该动点Q的坐标为(2Cos t, √2Sin t), 亦即x_0 = 2Cos t, y_0 = √2Sin t.
那么，根据点关于直线对称的条件：
(y_0 + y_1)/2 = 2*(x_0 + x_1)/2,
(y_1 - y_0)/(x_1 - x_0) = -1/2,
解得
x_1 = -3/5 x_0 + 4/5 y_0 = -6/5 Cos t + 4√2/5 Sin t,
y_1 = 4/5 x_0 + 3/5 y_0 = 8/5 Cos t + 3√2/5 Sin t.
因此,
3x_1 - 4y_1
= 3(-6/5 Cos t + 4√2/5 Sin t) - 4(8/5 Cos t + 3√2/5 Sin t)
= -10 Cos t.
显然，所求的取值范围为[-10, 10].

Answer 2

图片看不清,可以用手打吗?