Question

已知n正整数，（1）有n个整数它们的和等于0，积等于n，求证：n是4的倍数；

（2）若n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，使它们的和等于0，积等于n。

Answer 1

【1】
当全是奇数时，
N是奇数（奇数*奇数=奇数）
所以其和不为0（奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数）
所以必有偶数
当只有1个偶数时，
N是偶数（奇数*偶数=偶数）
所以其和不为0（偶数+奇数=奇数）
所以必有2个以上的偶数
所以可被4整除

【2】
设n=4k．当k为奇数时，
n=2·(-2k)·1^(3k-2)·(-1)^k，
而2，-2k，(3k-2)个1与k个-1共4k个数之和为零．
当k为偶数时，
n=(-2)(-2k)·1^(3k)·(-1)^(k-2)
而-2，-2k，3k个1与(k-2)个-1共4k个数之和为零