Question

设函数f(x)=e^x/x^2+k,k>0,，1求f(x)的单调性 2,设函数f(x)有两个极值点x1，x2,x1<x2,证明f（x2）＜e^2/4

Answer 1

解：1、f'(x)=[e^x*(x^2+k)-e^x*2x]/(x^2+k)^2=e^x*(x^2-2x+k)/(x^2+k)^2
当k≥1时，x^2-2x+k=(x-1)^2+(k-1)≥0，故f(x)在定义域x∈R上为单调递增函数。
当k<1时，方程x^2-2x+k=0有两个相异实根：
x1,2=1±√(1-k)
显然当x<1-√(1-k)时，f'(x)>0，f(x)单增；
当1-√(1-k)≤x≤1+√(1-k)时，f'(x)≤0，f(x)单减；
当x>1+√(1-k)时，f'(x)>0，f(x)单增。
2、x1<x2
x2=1+√(1-k)<2
由于当x>1+√(1-k)时，f'(x)>0，f(x)单增，故有
f(x2)<f(2)=e^2/(2^2+k)=e^2/(4+k)<e^2/4
不明白请追问。