Question

,在三角ABC中,AB=AC,P为三角形ABC内一点,角BAP=70°,角ABP=40°.连接PC，当角PCB=30°时求角PBC的度数

Answer 1

如图所示,构造等边三角形ADP,连结BD．

①考虑等边三角形ADP、等腰三角形ADP的左右对称性可知△BAD≌△CAP；

②考虑等边三角形DPA、等腰三角形BPA的轴对称性可知△BAD≌△BPD；

③∠BAD＝∠BAP－∠DAP＝70°－60°＝10°；

④接下来有很多方法求得∠PBC＝10°.

郑重声明，以上解析存在漏洞.

追问

我就是缺△BAD≌△CAP的条件差一个角

追答

下面有一种比较简单的求法，用到费马点的知识，如果不理解，网上查一下相关知识，解法如下：

构造△ABC的费马点E,同时点E也可证明是△ABP的费马点.

这样∠EPB＝70°－30°＝40°,∴∠PBC＝40°－30°＝10°.

截图如下：

Answer 2

因为，∠BPA = 180°-∠BAP-∠ABP = 70° = ∠BAP ，
所以，BA = BP ，可得：△ABP是等腰三角形；
过点A作AD⊥BC于D，交CP延长线于O，连接OB；
过点B作BE⊥CP于E，则点E在CO延长线上；
AD是等腰△ABC底边上的高，可得：AD是BC的垂直平分线，
而且O在AD上，可得：OB = OC ，
∠OBC = ∠OCB = 30° ，
∠CBE = 90°-∠OCB = 60° ，
∠OBE = ∠CBE-∠OBC = 30° ；
因为，在△OBD和△OBE中，∠ODB = 90° = ∠OEB ，∠OBD = 30° = ∠OBE ，OB = OB ，
所以，△OBD ≌ △OBE ，
可得：OD = OE ，BD = BE ；
因为，在Rt△ABD和Rt△PBE中，AB = PB ，BD = BE ，
所以，△ABD ≌ △PBE ，
可得：AD = PE ；
因为，在△BOA和△BOP中，OA = AD-OD = PE-OE = OP ，BA = BP ，OB = OB ，
所以，△BOA ≌ △BOP ，
可得：∠OBA = ∠OBP = ½∠ABP = 20° ，
所以，∠PBC = ∠OBC-∠OBP = 10° 。