Question

如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E,F,G,H,分别是AD,BD,BC,AC的中点 1

如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E,F,G,H,分别是AD,BD,BC,AC的中点 1 求证:四边形EFGH是平行四边形 2 当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？请证明

Answer 1

（1）证明：因为E ,F ,G ,H分别是AD ,BD , BC ,AC的中点
所以EF ,FG ,HG ,EH分别是三角形ABD ,三角形BCD ，三角形ABC，三角形ACD的中位线
所以EF=1/2AB
EF平行AB
FG=1/2CD
HG=1/2AB
HG平行AB
所以EF平行HG
EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形
（2）当AB=CD时 ，四边形EFGH是菱形
证明：因为FG=1/2CD（已证）
EF=1/2AB （已证）
AB=CD
所以FG=EF
因为四边形EFGH是平行四边形（已证）
所以四边形EFGH是菱形

Answer 2

解：（1）∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴EF∥AB
EF=
GH∥AB
GH=AB
∴EF∥GH
EF=GH
∴EFGH是平行四边形（也可证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
（2）当四边形ABCD满足AB=DC时，EFGH是菱形，
∵AB=DC，
∴EF=EH，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EFGH是菱形。

Answer 3

1。证明：因为 E,F,G,H,分别是AD,BD,BC,AC的中点，
所以 EF//AB,且EF=AB/2,
HG//AB,且HG=AB/2.
所以 EF//HG,且EF=HG,
所以 :四边形EFGH是平行四边形 。
2。 当四边形ABCD满足一个条件“AB=CD"时，四边形EFGH是菱形.
证明：因为 E,F,G,H,分别是AD,BD,BC,AC的中点，
所以 EF=AB/2, HE=CD/2,
因为 AB=CD，
所以 EF=EH，
又 四边形EFGH是平行四边形 （已证），
所以 四边形EFGH是菱形.。

Answer 4

（1）
证明：E、F分别是AD、BD中点即EF是△ABD的中位线，EF∥AB，且EF=AB/2
同理HG∥AB，且HG=EF=AB/2，所以EF∥=HG，所以四边形EFGH是平行四边形。
（2）
当AB=CD时，EFGH是菱形。
证明：
由（1）可知EF=AB/2，EH=AD/2，
若AB=CD，则EF=EH，则平行四边形EFGH是菱形。
若平行四边形EFGH是菱形，则，EF=EH，则AB=AD
综上可知，当AB=CD时，EFGH是菱形。

Answer 5

试题答案：解：（1）证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB；GH∥AB，GH=AB．∴EF∥GH，EF=GH．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形． 理由：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，∴EF=AB，HG=AB，FG=CD，EH=CD，又∵AB=CD，∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．