Question

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如图,圆心O是△ABC的外接圆,AB是圆心O的直径,D为圆心O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD

Answer 1

1. 角ACB=90度，所以OE//BC, ---- OD//BC,
∠CBD=∠BDO, 又在三角形OBD, 是等腰三角形，所以∠BDO=∠DBO,
所以BD平分∠ABC

2. ∠ODB=30°时， 由1得到∠CBO=60度，三角形OCB是等边三角形。
所以BC=OC=OD

Answer 2

(1) 连接OC，根据∠OEA=∠OEC=90º，OC=OA，OE=OE可知△OEA≌△OEC
所以∠DOA=∠DOC
∴弧AD=弧DC
∴∠DBC=∠DBA
∴BD平分∠ABC
(2) ∵AB是⊙O的直径
∴∠BCA=90º
∴∠BCA=∠OEA
∴BC∥OD
∴∠ODB=∠DBC
∴∠DBC=30º
由题（1）结论知：∠DBC=∠DBA
∴∠ABC=∠DBC+∠DBA=30º+30º=60º
又∵OC=OB
∴△OBC是正三角形
∴BC=OB=OD

Answer 3

证明：
∵OD=OB
∴∠DBA=∠BDO
又∵∠DBC=∠BDO(内错角相等）
∴∠DBA=∠DBC

（2）连接OC
由第（1）知：∠ABC=60度
又∵OC、OB是半径
∴三角形OCB是等边三角形，
所以BC=OD

Answer 4

先说第一问吧， 连接OF ∵AB为直径，∴角C=90°， OA=OB.
又因为AC为弦，OD⊥AC，
∴OE为△ABC的中位线。
∴OE∥BC
∴角D=角CBD
又因为角D=角DBO
所以角CBD=角DBO
所以平分

Answer 5

1 ∵OD⊥AC，BC⊥AC，∴OD∥BC，对角相等，即角CBD=角BDO，
又OD=OB（半径），所以角ODB=角OBD，∴角CBD=角BDO=角OBD，所以BD平分∠ABC

2 ∠ODB=30°即∠CBA=60°∴BC=1/2AB=半径=OD