Question

如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），并且与x轴以及y=x+1的图

象分别交于点C、D．（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是k＞1．

Answer 1

(1)将D的横坐标x=1代入y=x+1得y=2，∴D(1,2)，
∵直线y=kx+b过点B(0，-1)，∴b=-1，
将点D(1,2)和b=-1代入ykx+b，得2=k-1，∴k=3，
故该直线为y=3x-1，
令y=0，得x=1/3，∴C(1/3.0)，
在直线y=x+1中令x=0，得y=1，∴A(0,1),
连接OD，
则四边形AOCD的面积=△AOD的面积+△DOC的面积=(1/2)×1×1+(1/2)×(1/3)×2=5/6。
(2)在y轴上存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形。
设P(0,y)，
∵BD=√(1²+3²)=√10，
①当BP=BD时，即BP²=BD²，则有(y+1)²=10，解得y=±√10-1，
∴P(0,√10-1)或P(0,-√10-1)；
②当PB=PD时，则有(y+1)²=1²+(y-2)²，
解得y=2/3，∴P(0,2/3)；
③当DP=DB时，则有1²+(y-2)²=10，
解得y=5或y=-1(舍去)，∴P(0,5)。
(3)解方程组y=kx-1，y=x+1，
得x=2/(k-1)，y=(k+1)/(k-1)，即D(2/(k-1)，(k+1)/(k-1))，
∵D点在第一象限，∴2/(k-1)>0，且(k+1)/(k-1))>0，
故k>1。

追问

k为什么不能大于0？

追答

由2/(k-1)>0，得k>1；由(k+1)/(k-1)>0，得k>1或k1。

Answer 2

（1）若点D的横坐标为1，
D在直线y=x+1上，∴D纵坐标y=1+1=2，即D（1，2）
y=kx+b过B（0，-1），∴b=-1，y=kx-1
又，过D（1，2）点，∴2=k*1-1，k=3，∴y=3x-1
令y=0，则x=1/3，∴C（1/3，0）
y=x+1与y轴交于点A，令x=0，则y=1，∴A（0，1）
做DE⊥x于E，则E（1，0）
SAOCD=SAOED-S△DCE
= (OA+DE)/2 * OE - 1/2CE*DE
= (yA+yD)/2 * xE - 1/2*(xE-xC)*yD
= (1+2)/2 * 1 - 1/2*(1-1/3)*2 = 7/6

（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形。有三种情况
P为等腰三角形顶点时：
PB=PD
y+1=√{1²+(2-y)²}
y=2/3，
∴P1（0，2/3）
B为等腰三角形顶点时：
BP²=BD²
(y+1)²=1²+(2+1)²
y=-1±√10，
∴P2（0，-1-√10），P3（0，-1+√10）
D为等腰三角形顶点时：
D在BP中垂线上
yD=(yP+yB)/2
2=(y-1)/2
y=5
∴P4（0，5）
综上共有4个P点：P1（0，2/3），P2（0，-1-√10），P3（0，-1+√10），P4（0，5）

（3）
当k＜0时，D点在y轴左边，不符合要求；
当k=0时，D点在y轴上，不符合要求；
当k=1时，两直线平行（没有交点），不符合要求；
当k＞1时，交点在y轴左边，不符合要求。
综上：0＜k＜1

追问

也谢谢您了！我懂了