Question

在三角形ABC中,cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0若a+c=1,求b的范围

Answer 1

cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0
-cos（A+B）+(cosA-根号3sinA)cosB=0
sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-√3sinAcosB=0
sinAsinB-√3sinAcosB=0
siA不等于0
sinB-√3cosB=0
tanB=√3
B=π/3
又因为a+c=1
a�0�5+2ac+c�0�5=1
b�0�5=a�0�5+c�0�5-2accosB=1-2ac-ac=1-3ac
∵a+c=1，1 ＞ a＞0 ，1 ＞c＞0
故可令 a=sin�0�5α， c=cos�0�5α 0＜α＜π/2

1-3ac=1-3sin�0�5αcos�0�5α=1-3/4( sin2a)�0�5=1-3/4 （1-cos4α）/2=1-3/8+3/8cos4α=5/8+3/8cos4α
0＜α＜π/2 0＜4α＜2π
cos4α=1 1-3ac 有最大值 1 (此时α=0 由于 0＜α 故最大值＜1)
cos4α=-1 1-3ac 有最小值 1/4 (此时 4α=π ，α=π/4 a=c=sin�0�5α=1/2 )
1 ＞b�0�5≥1/4
1 ＞b≥1/2
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