Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求：

1.向量A1D与AM成角余弦值
2.直线AD与平面ANM所成角的大小
求过程

Answer 1

(1) 由于A'D⊥AN 并设交点为G
∠ADA'=∠AA'G=∠AA'N
△AA'D∽△AA'G∽△AA'D
AA'/AD=A'N/AA'
A'N=2
连接MN 由于B'M=2
MN//A'B' MN⊥A'D AN⊥A'D
A'D⊥平面AMN
故 向量A1D与AM成角余弦值为0
(2)平面ANM与平面ANMB重合，AB在平面ANMB上，
DA⊥AB NA⊥AB

∠D'AD即为直线AD与平面ANM所成角
∠A'NA=∠D'AD
tan∠D'AD=tan∠A'NA=4/2=2
直线AD与平面ANM所成角：arctan2

Answer 2

（1）建立空间直角坐标系，写出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．
（2）利用线面垂直的判断定理得到

A1D
⊥平面AMN，利用向量的数量积公式求出法向量

A1D
与

AD
所成角的余弦，
其绝对值为直线与面所成角的正弦．
解：（1）建立空间直角坐标系如图．
可得向量

AM
=（5，2，4），
向量

A1D
=（0，8，-4），

AM
•

A1D
=0+16-16=0
∴

AM
=⊥

A1D
，
即cos＜

AM
，

A1D
＞=0．
（2）

A1D
⊥AM，

A1D
⊥AN，∴

A1D
⊥平面AMN，
∴向量

A1D
=（0，8，-4），是平面AMN的一个法向量，
又

AD
=（0，8，0），|

A1D
|=4
5
，
|

AD
|=8，

A1D
•

AD
=64；
∴cos＜

A1D
，

AD
＞=
64
45×8
=
2
5
=
25
5
，
∴AD与平面AMN所成的角为
π
2
-arccos
25
5 ．