Question

P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，设∠PF1F2=45,∠PF2F1=15，则离心率e=

Answer 1

设椭圆的长轴为2a，焦距为f，则e=f/a
在△PF1F2中，∠P=180°-∠F1-∠F2=180°-45°-15°=120°
根据正弦定理，有F1F2/sinP=PF1/sinF2=PF2/sinF1
由于F1F2=2f，所以2f/sin120°=PF1/sin15°=PF2/sin45°
则PF1=2fsin15°/sin120°，PF2=2fsin45°/sin120°
所以PF1+PF2=2f(sin15°+sin45°)/sin120°
而P在椭圆上，所以PF1+PF2=2a，即2a=2f(sin15°+sin45°)/sin120°
则f/a=sin120°/(sin15°+sin45°)=√3/2/((√6-√2)/4+√2/2)=(3√2-√6)/2
即离心率e=(3√2-√6)/2

Answer 2

在三角形pf1f2中，pf1+pf2=2a，f1f2=2c，
所以
e=(2c)/(2a)=f1f2/(pf1+pf2)，
为叙述方便，记
x=∠pf1f2=45°，y=∠pf2f1=75°，
由正弦定理，上式=sin(180-x-y)/(sinx+siny)=sin(x+y)/(sinx+siny)，
由和差化积公式和部倍角公式，
上式=2sin[(x+y)/2]*cos[(x+y)/2]/{2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]}
=cos[(x+y)/2]/cos[(x-y)/2]
(之所以没有用具体值，是由于这个结果是计算椭圆离心率的公式）
=cos60°/cos15°
=(1/2)/[(√6+√2)/2]
=(√6-√2)/4。