Question

已知二次函数y=x^2+ax+a-2.

1.求抛物线与x轴两交点间的距离。
2.a为何值时，这两个交点的距离最短？

Answer 1

解：设抛物线与X轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0）
则x1+x2=-a, x1x2=a-2，
（1）抛物线与X轴的两交点间的距离是
AB=｜x1－x2｜
=√(x1－x2)²
=√[(x1+x2)²－4x1x2]
=√[(-a)²－4(a-2)]
=√(a²－4a+8)
(2)由（1）知：
AB=√(a²－4a+8)
＝√[(a²－4a+4)+4]
=√[(a－2)²+4]
∴当a=2时，AB＝√4＝2，
这两个交点的距离最短，是2.

Answer 2

1.抛物线与x轴相交时，y=0
即 x²＋ax＋a－2=0
x²＋ax＋a²/4－a²/4＋a－2=0
﹙x＋a/2﹚²=a²/4－a＋2
x1=√﹙a²/4－a＋2﹚－a/2,
xi=﹣√﹙a²/4－a＋2﹚－a/2
距离d=︳x1－x2︳=2√﹙a²/4－a＋2﹚
2.a²/4－a＋2=﹙a/2－1﹚²＋1≥1
∴d≥2
当a=2时，d=2

Answer 3

1.令两个交点横坐标为x1,x2
则两交点间的距离d=|x1-x2|=√(x1-x2)^2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]
由韦达定理的x1+x2=-a x1x2=a-2
则d=√[a^2-4(a-2)]=√(a^2-4a+8)
2.令y′=a^2-4a+8=a^2-4a+4+4=(a-2)^2+4
则a=2时y′有最小值4,此时d=2
所以a=2时,距离最短为2