Question

已知双曲线C的渐近线方程为y=± 3 x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为 3 ． （1）求双曲线C的方程；

已知双曲线C的渐近线方程为y=±根号3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为根号3 ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：
|AB| / |FD| 为定值．
谢谢谢谢！！！

Answer 1

(1)双曲线C的渐近线方程为y=± 3 x，右焦点F（c，0）
所以设双曲线的方程为：
x^2/a^2-y^2/b^2=1
a^2+b^2=c^2
|c√3|/√(1+3)=3
c=2√3
a^2=3,b^2=9
C的方程为：
x^2/3-y^2/9=12;
(2)利用几何方法最简单，
设右准线为L，过A、B、D分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1、D1，
由圆锥曲线的统一定义有：
AF/AA1=BF/BB1=DF/DD1=e
AF=e*AA1, BF=e*BB1,DF=e*DD1
又因为AA1，BB1,DD1垂直于L,，AD=BD，所以DD1是梯形AA1B1B的中位线，
AA1+BB1=2DD1，
AB=AF+BF=e(AA1+BB1)=2e*DD1=2DF,
故有|AB|/|FD|=2。
此方法避免了复杂的代数运算，并且对二次曲线成立，因为这里只是利用了焦点和相应的准线，所以更有一般性。