Question

等边三角形ABC中，点D.E分别在边BC，AC上，且|BD|=1/3|BC|，|CE|=1/3|CA|，AD，BE相交于点P，求证：AP垂直

Answer 1

设等边三角形ABC的边长为a
则B(0，0)、C(a，0)、A(a/2，√3a/2)
∵ |BD|=1/3|BC|，
∴ D(a/3，0)
|CE|=1/3|CA|
∴ E(5a/6，√3a/6)
设直线BE的解析式y=kx ，经过E点
则 k=√3/5
直线BE的解析式y=√3/5x
设直线AD的解析式y=kx+b 经过A、D
则 0=k*a/3+b
√3a/2=k*a/2+b
得k=3√3 b=-√3a
直线AD的解析式y=3√3x-√3a
P点为BE、AD的交点，则解下列联立方程
y=3√3x-√3a
y=√3/5x
得P(5a/14,√3a/14)
CP直线斜率为：(√3a/14)/(5a/14-a)=-√3/9
AD直线斜率为：3√3
(-√3/9)*(3√3)=-1
则 AD⊥CP