Question

一道初三数学压轴题。

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上一动点，连结PC，PD。

（1）如图1，若S梯形ABCD=2S△PCD，求AP的长。
（2）如图1，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请说明平行四边形PCQD不可能成为矩形。
（3）如图2，延长PD至E，使DE=1/2 PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，求对角线PQ的长的取值范围。

求主要过程。好的采纳。

Answer 1

解答：解：问题1：过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2
2
，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，
化简得x2-2x+3=0，
∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴
DG
GC
=
PD
CQ
=
1
2
，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即
AD
CH
=
PD
CQ
=
1
2
，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴
PA
BQ
＝
AG
BG
=
1
n+1
，
∴G是AB上一定点，
作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴
AD
BH
＝
PA
BQ
＝
1
n+1
，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH•cos45°=

2

2
（n+4），
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为

2

2
（n+4）．

追问

全错！！！看清题目啊！不要随便复制！

追答

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