Question

高手 帮我做一下这个作业吧，我自己真不会做

Answer 1

1、u=x^3+xy^2，v=y^3+x^2y都是可微的，根据C-R方程，αu/αx＝αv/αy，αu/αy＝-αv/αx，解得x=y=0。
所以f(z)只在z=0处可导，在其余点处不可导，所以在任意点处都不解析。
2、由C-R方程，αu/αx＝αv/αy，αu/αy＝-αv/αx，所以uxx+uyy=vyx-vxy=0，同理得vxx+vyy=0，所以u,v都是调和函数，且αv/αx＝α(-u)/αy，αv/αy＝-α(-u)/αx，所以，-u是v的共轭调和函数。
3、（1）
由C-R方程得αv/αx＝-αu/αy＝2-2x，αv/αy＝αu/αx＝2y。αv/αxdx+αv/αydy＝(2-2x)dx+2ydy＝d(2x-x^2-y^2)＝dv，所以v＝2x-x^2+y^2+C。所以f(z)=u+iv=2(x-1)y+i(2x-x^2+y^2+C)＝-iz^2+2iz+Ci。由f(0)=-i得C=-1，所以f(z)=-iz^2+2iz-i。
（2）题目有误，sinx实为siny。
由C-R方程得αv/αx＝-αu/αy＝e^x(xsiny+siny+ycosy)，αv/αy＝αu/αx＝e^x(xcosy-ysiny+cosy)。所以v(x,y)=∫((0,0)到(x,y)) αv/αxdx+αv/αydy+C＝0+∫(0到y) e^x(xcosy-ysiny+cosy)dy+C＝e^x(xsiny-ycosy)+C，所以f(z)＝e^x(xcosy-ysiny)+ie^x(xsiny-ycosy)+iC=ze^z+iC。由f(0)=0得C=0，所以f(z)=ze^z。
4、cosi＝(e^(i*i)+e^(-i*i))/2＝(e+e^(-1))/2。
Ln(-3+4i)=ln5+iArg(-3+4i)＝ln5+i(2kπ+π-arctan(4/3))。
(1-i)^(1+i)＝e^[(1+i)Ln(1-i)]＝e^[(1+i)(ln√2+i(-π/4+2kπ))]＝e^[ln√2+π/4-2kπ][cos(ln√2-π/4)+isin(ln√2-π/4)]。
3^(3-i)＝e^[(3-i)Ln3]＝e^[(3-i)(ln3+2kπi)]＝e^(3ln3+2kπi-iln3)＝27e^(2kπ)(cosln3-isinln3)。
5、（1）成立。
e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)。等式左边是e^x(cosy-isiny)。等式右边是e^(x-iy)=e^x(cosy-isiny)。两边相等。
（2）不成立。
比如p(z)=(1+i)z，则等式左边是(1-i)(x-iy)=(x+y)+i(-x-y)，等式右边是(1+i)(x-iy)=(x+y)+i(x-y)，两边不恒等。
（3）成立。
根据sinz＝(e^(-z)-e^(-iz))/(2i)可验证。
（4）成立。
根据Lnz=ln|z|+i(2kπ+argz)可验证。

Answer 2

三角函数啊……你动动脑筋吧，就会知道的

Answer 3

这个太难了吧

Answer 4

。。。。我没有学过。。。

Answer 5

我无语了，这也太难了吧