Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA垂直底面abcd,AB=根号三，BC=1PA=2

E为PD中点。求直线AC与PB所成角的余弦值。。3，在侧面PAB内找出一点N，使NE垂直平面PAC。。。不好上图百度得到这倒题哪里有图。。。帮帮忙啊速度

Answer 1

 

1、取AB中点F，BC中点G，PA中点H，连结FG、FH、HG，

∵FH和FG分别是△PBA和ABC的中位线，

∴FH//PB，

FG//AC，

∴〈HFG和异面直线PB与AC所成角相等，

根据勾股定理，AC=2，PB=√7，

∴FG=AC/2=1，

FH=PB/2=√7/2，

AG=√（AB^2+BG^2)=√13/2，

HG=√（AH^2+AG^2)=√17/2，

根据余弦定理，

cos<HFG=（HF^2+FG^2-HG^2)/(2FH*FG)=-3√7/14，

因直线夹角小于等于90°，

故取锐角，

∴直线AC与PB所成角的余弦值为3√7/14。

2、∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAB、平面PAC、平面PAD均垂直底面ABCD，

EN必在平行于平面ABCD，且距离为1的平行平面上，只要求出N在底AB线段的投影N‘位置即可，

画出底面矩形ABCD，连结AC，AD中点E’，作E‘N’⊥AC，交AC于K，AB于N，

RT△AKE‘∽RT△ADC，

AE’*AD=AK*AC，

AE‘=1/2，AC=2，

∴AK=1/4，

E’K=√（1/4-1/16）=√3/4，

AK^2=KE'*N'K,(RT△斜边高是斜边两部分的比例中项），

N‘K=√3/12，

∴N’E‘=N’K+KE‘=√3/3，

∴AN’=√（N'E'^2-AE'^2)=√3/6，

∴N点距底面距离为1，距PA距离为√3/6。

即在AB上找到AN‘=√3/6，在PAB平面上过N’点作垂线，NN‘，使NN’=1，该N即为所求垂足点。

若学过向量，用向量建空间坐标系来作很容易。