Question

已知函数f(x)=cos²x+2asinx+4

（1）若a=1/2，求函数f(x)的最大值和最小值，并求函数取得最值时x的值；
（2）若x∈R，有1≤f(x)≤8恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）∵a=1/2 ∴f(x)=1-sin²+sinx+4=-(sinx-1/2)²+21/4
∴当sinx=1/2时 f(x)max=21/4
当sinx=-1时 f(x)min=3
（2）∵x∈R 1≤f(x)≤8恒成立
∴f(x)=-(sinx-a)²+5+a² ∴ 1≤-(sinx-a)²+5+a²≤8
∵-1≤sinx≤1 ∴-3/2≤a≤3/2

Answer 2

(1) f(x)=1-sin^2x+sinx+4=-sin^2x+sinx+5 -1<=sinx<=1所以,最大值是sinx=1/2,f(x)=21/4,x=π/6+2kπ,k属于Z或x=5π/6+2kπ。最小值是sinx=-1，f（x）=3 ,x=-π/2+2kπ
（2）f(x)=-sin^2x+2asinx+5,二次函数在某个区间恒成立问题，开口向下，所以最小值要大于等于1，最大值要小于等于8，