Question

已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为g(a)

（1）求g（a)(2)若g(a)=0.5,求a及此时f(x)的最大值

Answer 1

(1)f(x)=1-2a-2acosx-2(sinx)^2=1-2a-2acosx-2+2(cosx)^2=2(cosx)^2-2acosx-2a-1=2(cosx-a)^2-2a^2-2a-1（一）若-1<=a<=1，则f(X)在cosx=a时最小值g(a)=-2a^2-2a-1（二）若a>1，则f(X)在cosx=1时最小值g(a)=2(1-a)^2-2a^2-2a-1=-2a+1（三）若a<-1，则f(X)在cosx=-1时最小值g(a)=2(-1-a)^2-2a^2-2a-1=2a+1（２）若g(a)=1/2,（一）若-1<=a<=1，g(a)=-2a^2-2a-1=1/2，此时a无解；（二）若a>1，g(a)=-2a+1=1/2，a=1/4,此时f(x)取最大值时,cosx=-1，最大值＝17/8（三）若a<-1，g(a)=2a+1＝1/2，a=-1/4，此时f(x)取最大值时,cosx=１，最大值=25/8