Question

设函数f(x)=a/3x3+bx2+cx+d(d>0)且方程f'(x)-9x=0的两根分别为1,4

。
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间（负无穷大，正无穷大）内无极值点，求a的取值范围。

Answer 1

f′(x)-9x=0的两个根分别为1，4.由此可得c=4a 5a+2b=9当a=3且曲线y=f(x)过原点时，d=0，f(x)=x^3-3x^2+12xf(x)在(-∞,+∞)无极值点，f′(x)=0没有变号零点由于f′(x)=0是二次函数，当a>0时（抛物线开口向上），没有变号零点等价于恒大于或等于0

由于a＞0,所以（a/3）x^3+bx^2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立