Question

如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝2∠C，求证： AC²=AB²+AB*BC

Answer 1

延长AB到B,使BE=BC,连EC

∵BE=BC

∴∠E=∠BCE

∵∠ABC=∠E+∠BCE

∴∠ABC=2∠E

∵∠ABC=2∠ACB

∴∠E=∠ACB

 ∵∠BAC=∠CAE

∴△BAC∽△CAE

∴AB/AC=AC/AE

AC²=AB×AE=AB(AB+BE)=AB²+AB×BC

Answer 2

证明：在CD上截取DE=BD，连结AE，如图

∵AD⊥BC   DE=BD

∴AB=AE（三线合一）
∴∠AEB=∠B

∵∠B＝2∠C

∴∠AEB=2∠C

∵∠AEB=∠C+∠EAC

∴∠EAC=∠C
∴AE=CE

∴CE=AB
在RTΔADC中，AC²=AD²+CD²

在RTΔABD中，AD²=AB²-BD²

∴AC²=AB²-BD²+CD²

=AB²+(CD+BD)(CD-BD)
=AB²+BC*CE
=AB²+AB*BC

即AC²=AB²+AB*BC