Question

在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE,垂足为点F,

在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE,垂足为点F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点E.1.求证:AE=CD.2.若AC=12㎝,求BD的长。

Answer 1

证明：
∵BD⊥BC，CF⊥AE
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°
∴∠D＝∠AEC
又∠DBC＝∠ACE＝90°，AC＝BC
∴△DBC≌△ECA(AAS)
∴AE＝CD

由上得：△DBC≌△ECA
∴BD＝EC＝1/2BC＝1/2AC
且AC＝12cm
∴BD＝1/2AC＝6cm

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Answer 2

1.(把题中BD⊥BC,交CF的延长线于E,改为交CF的延长线于D)证明:
证明:∵∠CAE+∠ACF=90°;∠BCD+∠ACF=90°.
∴∠CAE=∠ACF.(同角的余角相等)
又AC=BC,∠ACE=∠CBD=90°.
∴⊿ACE≌⊿CBD(ASA),AE=CD.
2.解:∵⊿ACE≌⊿CBD(已证)
∴BD=CE.
又AE为中线,则CE=BC的一半=AC的一半=6cm.
所以，BD=CE=6cm.