Question

一道数学题目求解答@_@

Answer 1

设h(x)=f(x)-g(x)=(x-k)²e^x-4e；由题意可知：h(x)=0有2个根。
对h(x)求导：h'(x)=2(x-k)e^x+(x-k)²e^x=(x-k)(x-k+2)e^x，
令h(x)=0得x=k或x=k-2；
当x＜k-2或x＞k时，h'(x)＞0，当k-2＜x＜k时，h'(x)＜0；
所以h(x)在(-∞，k-2)和(k，+∞)上是增函数；在(k-2，k)上是减函数；
由于h(x)=0仅有2个根，所以必须h(k-2)=0或h(k)=0：
①h(k-2)=(k-2-k)²e^(k-2)-4e=4e^(k-2)-4e=0，
所以e^(k-2)=e，∴k-2=1，k=3；
②h(k)=-4e≠0，此时无解！
综上所述，k的值是3；
f(x)=(x-3)²e^x，g(x)=4e，函数图像如下：

很明显此时有2个交点