Question

函数f(x)=a^x+根号a^x+2的值域为

函数f(x)=a^x+根号下(a^x+2)

Answer 1

方法一
设根号下(a^x+2)=t,则t∈(根号2,+无穷)
f(t)=t^2+t-2=(t+1/2)^2-9/4
当t∈(根号2,+无穷)时
,f(t)为增函数

所以值域为(根号下2,+无穷)

方法二

分类讨论
a>1时,
a^x,及根号下(a^x+2)都是增函数，
结合指数函数的性质可得
f(x)=a^x+根号a^x+2的值域为(根号下2,+无穷)
0<a<1时,,a^x,及根号下(a^x+2)都是减函数，
结合指数函数的性质可得
f(x)=a^x+根号a^x+2的值域为(根号下2,+无穷)
综上，不论何时值域为(根号下2,+无穷)