Question

已知x-y=1,xy=6求y根号下y/x+x根号下x/y

Answer 1

∵xy＝6，∴x·（－y）＝－6，又x－y＝1，
∴由韦达定理可知：x、－y是方程z^2－z－6＝0的两根。
由z^2－z－6＝0，得：（z－3）（z＋2）＝0，∴z＝3，或z＝－2。
∴x＝3、－y＝－2；或x＝－2、－y＝3。
∴x＝3、y＝2；或x＝－2、y＝－3。
于是：
1、当x＝3、y＝2时，y√y/x＋x√x/y＝2√2/3＋3√3/2。
2、当x＝－2、y＝－3时，y√y/x＋x√x/y＝（2√2/3＋3√3/2）i。

注：若是求y√（y/x）＋x√（x/y），则：
1、当x＝3、y＝2时，
y√（y/x）＋x√（x/y）＝2√（2/3）＋3√（3/2）＝（2/3）√6＋（（3/2）√6＝（13/6）√6。
2、当x＝－2、y＝－3时，
y√（y/x）＋x√（x/y）＝－3√（3/2）－2√（2/3）＝－（3/2）√6－（2/3）√6＝－（13/6）√6。

求y√（y/x）＋x√（x/y）时，还可以通过下列方法求出：
∵xy＝6，∴x、y同号。
1、当x、y都是正数时，
y√（y/x）＋x√（x/y）
＝（y/x）√（xy）＋（x/y）√（xy）＝［（y^2＋x^2）/（xy）］√（xy）
＝｛［（x－y）^2＋2xy］/（xy）｝√（xy）＝［（1＋12）/6］√6＝（13/6）√6。
2、当x、y都是负数时，
y√（y/x）＋x√（x/y）
＝－（y/x）√（xy）－（x/y）√（xy）＝－［（y^2＋x^2）/（xy）］√（xy）
＝－｛［（x－y）^2＋2xy］/（xy）｝√（xy）＝－［（1＋12）/6］√6＝－（13/6）√6。

Answer 2

y根号下y/x+x根号下x/y
=y/x(√xy)+x/y(√xy)
=√xy(y/x+x/y)
=√xy(y²+x²)/xy
=√xy(x²-2xy+y²+2xy)/xy
=√xy[(x-y)²+2xy]/xy
=√6*(1²+12)/6
=(13√6)/6