Question

已知g(x)=-x²-3,f(x)是二次函数，g(x)+f(x）是奇函数，且当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是-1，

求f(x)的表达式

Answer 1

g(x)=-x²-3,f(x)是二次函数，g(x)+f(x）是奇函数，且当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是-1
设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)
g(x)+f(x）是奇函数
令H(x)=g(x)+f(x)=(a-1)x²+bx+c-3
H(x)为奇函数
则a-1=0 c-3=0
故a=1 c=3
f(x)=x²+bx+3=(x+b/2)²+3-b²/4
对称轴x=-b/2
当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是-1
1、当x=-b/2<-1,即b>2时
f(x)min=f(-1)=4-b=-1
解得b=5
2、当-1≤-b/2≤2,即-4≤b/2≤2时
f(x)min=f(-b/2)=3-b²/4=-1
解得b=-4
3、当2<-b/2,即b<-4时
f(x)min=f(2)=7+2b=-1
解得b=-4 （舍去）

综上b=5，b=-4
故
f(x)=x²+5x+3
或
f(x)=x²-4x+3

Answer 2

let
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)+f(x)= (a-1)x^2+bx+(c-3)
g(-x)+f(-x) = (a-1)x^2-bx+(c-3)= -(f(x)+g(x))
=> a-1=0 and c-3=0
=>a=1 or c=3
f(x) =x^2+bx+3
f'(x) =2x+b=0
x= -b/2
f''(x)=2 >0 (min)
if -b/2∈[-1,2]
f(-b/2) = -b^2/4+3 = -1
b^2=16
b=4 or -4
f(x) =x^2+4x+3 or f(x) =x^2-4x+3
if -b/2 <-1
min f(x) = f(-1)= -b+4 = -1
b=5
f(x) =x^2+5x+3
if -b/2 > 2
minf(x) = f(2)=2b+7 =-1
b=-3 (rejected)

ie f(x) =x^2+4x+3 or f(x) =x^2-4x+3 or f(x) =x^2+5x+3

Answer 3

也就是说g(x)+f(x)没有x的二次项以及常数项
所以f（x）=x²+ax+3
①-a/2∈[-1,2]，即：a∈[-4,2]，则：（12-a²）/4=-1
a=±4，即：a=-4
②-a/2＞2，a＜-4，即：f（2）=-1
a=-4舍去
③-a/2＜-1，a＞2，即：f（-1）=-1
a=5
综上：a=5或-4
f（x）=x²+5x+3或f（x）=x²-4x+3

Answer 4

鉴于如果g(x)+f(x)中如果含有x²的话那么其一定不为奇函数，
所以若s(x)=g(x)+f(x),则可以设f(x)=x²+ax+3通过最小值解得f(x)=x²+5x+3或f(x)=x²-4x+3