Question

空间几何的问题

在空间直角坐标系中，已知一个三角面F的三个顶点A（Xa,Yb,Zc）B(Xb,Yb,Zb) C(Xc,Yc,Zc)的坐标,如何计算这个面F与水平面F xoy的面夹角？

Answer 1

以下以实例说明之：
设A(1,2,3),B(3,1,2),C(2,3,1)
向量AB=(2,-1,-1),AC=(1,1,-2)
设向量n是面ABC的一个法向量
向量n=向量AB×AC =(-1,3,3)==>|向量n|=√19
任取面xoy的一个法向量m=(0,0,1)==> |向量m|=1
向量n·向量m=3
Cos<向量n,向量m>=向量n·向量m/(|向量n|*|向量m|)=3/√19
<向量n,向量m>=arccos(3/√19)

（一般取锐角）
面F与水平面F xoy的面夹角为arccos(3/√19)

Answer 2

先求面F的法向量与平面xoy的法向量之间的夹角，然后再判断这两个平面的夹角是等于两个法向量之间的夹角，还是等于它的补角。

Answer 3

大致步骤如下（注意向量符号）：
1.求出向量AB、AC；
2.设平面ABC的法向量x，则其与向量AB、AC垂直，求出此向量x；
3.Fxoy的面的法向量为（0,0,1），两平面的法向量的夹角（或其补角，取两者中较小值）即为所求。