Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点

求证AC⊥BD1
求证直线PB1⊥面PAC

Answer 1

①∵DD1⊥平面ABCD
∴DD1⊥AC
∵长方体，AB=AD
∴ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∵BD∩DD1=平面BDD1
∴AC⊥平面BDD1
∴AC⊥BD1
②连CB1
PC=√2
PB1=√3
CB1=√5
∴PB1⊥PC
∵①，PB1∈平面BDD1
∴AC⊥PB1
∵PC∩AC=平面PAC
∴PB1⊥平面PAC

Answer 2

设AC中点为O，连接PO
∵DP=1，DO=√2，∠PDO=90°
∴PO=√3
然后由三角形PD1B1求出PB1=√3，
由三角形B1BO求出OB1=√6
∴三角形POB1为
等腰直角三角形

∠POB1=90°
∵PO在平面PAC上
∴PB1⊥平面PAC