Question

关于泰勒公式的一道小题目。。求解

如图，

为什么答案e^xsin x = (1 + x + x^2/2 + x^3/6 +o(x^3))(x - x^3/6 + o(x^4)) = x +x^2 + x^3/3 + o(x^4)中左边对e^x展开和右边对x^4展开的阶数不同，按照我自己个人理解的话，左边应该继续展开一项，写成：(1 + x + x^2/2 + x^3/6 +x^4/24 + o(x^4))
请高手解开小弟迷惑，谢谢

Answer 1

你那样写当然也没有错，但是没有必要。因为他要求是展开式只包含到x^4就足够了，由于sinx=x-x^3/6+...中x的最低次幂是1，所以两个多项式相乘后的结果如果要保证最高次幂是4的话，第一个多项式中x的最高次幂是3就够。如果你把e^x展开到x^4的话，那么这一项和后面的相乘得到的最低次幂是x^5，还是要舍去的，所以干脆不写。

追问

额我又有点晕了
他两个相乘拿掉括号最高幂不久编程6次方了吗？
为什么答案把括号去掉后是那个样子。。好像我拆开括号不是这样的

追答

最高幂是6次方没有错，但是那是不可避免的，高于4次的项直接舍去即可，sinx至少要展开到x^3，这是因为e^x的展开式中1+x这一部分，假如sinx只展开到x，那么最后的结果中的x^4是“少了一部分”的，这样的结果是错的。要求展开到x^4，就意味着要把所有相乘后出现x^4及低于x^4的所有项都写出来。