Question

两道高等数学求教

Answer 1

(1)
a
当p=1时，
∫(2到正无穷)dx/[x(lnx)]
=∫(2到正无穷)[(lnx)^(-1)]dlnx
=ln(lnx) | (2到正无穷)
=【lim{x趋于无穷}ln(lnx)】-(ln2)^(1-p)/(1-p)
第一项是发散的，所以积分发散

∫(2到正无穷)dx/[x(lnx)^p]
=∫(2到正无穷)[(lnx)^(-p)]dlnx
=(lnx)^(1-p)/(1-p) | (2到正无穷)
=【lim{x趋于无穷}(lnx)^(1-p)/(1-p)】-(ln2)^(1-p)/(1-p)

所以当p<1时，第一项发散。积分发散。
当p>1时，第一项等于0。积分收敛，积分=-(ln2)^(1-p)/(1-p)

b
∑1/[k(lnk)^2]，可以用
∫(2到正无穷)dx/[x(lnx)^2]近似计算，
=1/ln2

c
用积分判别法

在a中已经证明了，当p=1时候，
因为积分 ∫（2,∞) 1/(xlnx)dx=ln(lnx) |(2,∞) =∞发散、
所以由积分判别法，原级数发散

关于这个方法的根据，在这里，
∫(n到n+1) [1/(xlnx)]dx<[1/(nlnn)](n+1-n)=[1/(nlnn)]
即∫(n到n+1) [1/(xlnx)]dx<[1/(nlnn)]
然后两边取∑(n从2到正无穷）
就得到了
∫（2,∞) 1/(xlnx)dx<∑[1/(nlnn)]
所以只要证明 ∫（2,∞) 1/(xlnx)dx发散，∑[1/(nlnn)]就发散

（2）
设ak=k!(5/2k)^k
因为
lim(k趋于无穷）a(k+1)/ak
=(k+1)!(5/2(k+1))^(k+1) / k!(5/2k)^k
=5/[2(1+1/k)^k]=5/(2e)<1

所以级数收敛

Answer 2

好难的样子呢、