∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD 如图1，若α=120°，β=60°，求证：AB+AD=√3AC 50
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以C为顶点,以AC为一边作∠ACM=120,CM交AB于M；AB、CD交点记作O,作OH⊥AB于H
因为∠BAD=∠BCD=120,所以∠D+∠DOA=∠B+∠BOC=60
因为∠DOA=∠BOC,所以∠D=∠B
∠ACM=∠BCD=120,所以∠ACM-∠DCM=∠BCD-∠DCM,即∠ACD=∠MCB
又有DC=BC,所以△ACD≌△MCB
AC=MC,AD=MB
所以AB-AD=AB-MB=AM
△ACM为等腰三角形,OH为AM边上的高,所以H为AM中点
∠CAM=∠CMA=30
RT△ACH中,AC=2CH,AH=√3CH
所以AH=√3AC/2
AM=2AH=√3AC,因此AB-AD=√3AC
因为∠BAD=∠BCD=120,所以∠D+∠DOA=∠B+∠BOC=60
因为∠DOA=∠BOC,所以∠D=∠B
∠ACM=∠BCD=120,所以∠ACM-∠DCM=∠BCD-∠DCM,即∠ACD=∠MCB
又有DC=BC,所以△ACD≌△MCB
AC=MC,AD=MB
所以AB-AD=AB-MB=AM
△ACM为等腰三角形,OH为AM边上的高,所以H为AM中点
∠CAM=∠CMA=30
RT△ACH中,AC=2CH,AH=√3CH
所以AH=√3AC/2
AM=2AH=√3AC,因此AB-AD=√3AC
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