Question

【高中数学，函数问题】 已知函数f(x)=|x＋1|＋|x－3|。 ⑴解不等式f(x)≤6；

⑵若存在x，使f(x)+a≤0成立，求a范围。求过程，在线等

Answer 1

f(x)=|x-3|+|x+1|
x∈(-∞,-1)时，f(x)=-x+3-x-1=-2x+2,解f(x)=-2x+2≤6得x≥-2
x∈[-1,3]时，f(x)=-x+3+x+1=4,f(x)≤6恒成立
x∈(3,+∞)时，f(x)=+x-3+x+1=2x-2，解f(x)=2x-2≤6得x≤4
所以不等式f(x)≤6的解集为：-2≤x≤4

若存在x，使f(x)+a≤0成立，-a>=f(x)>=4,a<=-4.

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Answer 2

|x＋1|：在数轴上表示x与－1之间的距离；
|x－3|：在数轴上表示x与3之间的距离。
则：
f(x)=|x＋1|＋|x－3|：在数轴上表示x与－1和3的之间的距离之和。
所以f(x)的最小值是4

f(x)≤6，结合数轴，得：－2≤x≤5
要使得f(x)≤－a恒成立，则：－a≥f(x)的最小值【本题是存在，只要最小值即可】，得：
－a≥4
a≤－4

Answer 3

（1）x>3时：f(x)=x+1+x-3=2x-2≤6，x≤4，即x∈(3,4]
x<-1时：f(x)=-x-1-x+3=-2x+2≤6，x≥4，无交集
-1≤x≤3时：f(x)=x+1-x+3=4≤6恒成立，所以x∈[-1,3]
综上：x∈[-1,4]
(2)可以画出f(x)的图像，图像有最小值为4
所以存在x使得f(x)+a≤0
此时-a≥4
即a≤-4

Answer 4

当X＜-1，
|x＋1|＋|x－3| ≤6
-x+1+3-X ≤6

-2X ≤-2
X≥-1，所以不成立；
当X≥-1
|x＋1|＋|x－3| ≤6

1-X+3-X≤6
X≤4，所以X的取值范围是-1≤X≤4；

Answer 5

-2<=x<=4
a<=-4