Question

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，a cosC+根号3乘a sinC-b-

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，a cosC+根号3乘a sinC-b-c=0.(1)求A(2)若a=2,三角形ABC的面积为根号3，求b,c

Answer 1

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，a cosC+根号3乘a sinC-b-c=0.(1)求A(2)若a=2,三角形ABC的面积为根号3，求b,c

1、本题涉及的是高中人教A版必修5第一章解三角形中的知识。要用到正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式。其中还要用到必修4第三章三角恒等变换，如两角和与差的正弦余弦正切公式等。

2、解题过程：
（1）由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC知，设比例系数为k,则a=KsinA,b=ksinB,c=ksinC
所以ksinAcosC+√3ksinAsinC-ksinB-ksinC=0
得sinAcosC+√3sinAsinC-sinB-sinC=0
又B＝π-(A+C),所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
所以sinAcosC+√3sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0
所以sinC(√3sinA-cosA-1)=0
又sinC≠0,
所以√3sinA-cosA-1=0,即√3sinA-cosA=1
得2sin(A-π/6)=1
所以sin(A-π/6)=1/2,又A为三角形内角，
所以A＝π/3
（2）已知a=2，S＝√3＝(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)acsinB
所以(1/2)bcsin(π/3)=√3
所以bc=4
由余弦定理，得a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-2*4*(1/2)=b^2+c^2-4
又a=2，所以8=b^2+c^2
又bc=4, 得c=4/b
所以b^2+16/b^2=8
即b^4-8b^2+16=0
(b^2-4)^2=0
所以b^2=4，得b=2，所以c=2
即b=2, c=2
3、总结：对于解三角形这类问题，关键是正弦定理与余弦定理的正确、灵活应用。通过正弦、余弦定理，可以把边转化成角，或把角转化为边，再利用已经条件进行求解。
有时还要涉及三角形面积公式、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等。

Answer 2

一问：sinAcosC＋√3sinAsinC－sinB－sinC=0
sinAcosC＋√3sinAsinC－sin(A＋C)－sinC=0
sinAcosC＋√3sinAsinC－sinAcosC－cosAsinC－sinC=0
√3sinAsinC－cosAsinC－sinC=0
√3sinA=1＋cosA
因tan(A/2)=(sinA)/(1＋cosA)=√3/3
得：A/2=30°，即A=60°
二问：S＝1/2 * bcsinA，由一问可知sinA=√3/2，所以bc=4

由余弦定理得，b^2+c^2-a^2=2bc*cosA ，联立bc=4和余弦定理公式和条件a=2，可得b=2 c=2