Question

一道高考题 恳请解释

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
根号3 asinC−b−c＝0
（1）求A；

这是答案： （1）∵acosC+3 asinC-b-c=0∴sinAcosC+3 sinAsinC-sinB-sinC=0∴sinAcosC+3 sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0∴3 sinA-cosA=1∴sin（A-30°）=1 2 ∴A-30°=30° ∴A=60°

请问第二个所以的最后一个等号是怎么推得的 谢谢您啊

Answer 1

解析：

这是三角函数里面一个很常用的公式，高考可以直接用，你应该学过

sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

证明方法很复杂，不用记，具体如下：

如图所示作单位圆，设∠AOC=α，∠COD=β，则∠AOD=α+β，AO=1

作AB⊥Ox交Ox于B，作AC⊥OC交OC于C，作CE⊥AB交AB于E，作CD⊥Ox交Ox于D

易证△OBF∽△ACF

∴∠COD=∠CAF=β

sin (α+β)

=sin∠AOD

=AB/AO

=AB

=AE+EB

=AE+CD

=AC*cosβ+OC*sinβ

=AO*sinαcosβ+AC*cosαsinβ

=sinαcosβ+cosαsinβ