Question

三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为根号2、m、n，其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积的最大值为？

Answer 1

三棱锥P-ABC中，PA=BC=m，PB=CA=n，PC=AB=√2，四个面都是全等三角形
过P分别向△ABC的三条边引垂线，交AB于E，交BC于F，交CA于G；过P作三棱锥P-ABC的高PO，O是P在底面的投影
由于: PE⊥AB, PO⊥AB
AB ⊥平面PEO
OE⊥AB，同理：OF⊥BC，OG⊥CA
所以：O也是△ABC的垂心。

令S△ABC=S
m²+n²-2mn*cosC=√2²
cosC=(m²+n²-√2²)/(2mn) = 2/(mn)
sinC= √(m²n²-4) /mn
S=1/2*mn*sinC = 1/2*√(m²n²-4) ， mn≤(m²+n²)/2=3
S≤√5/2

PE=CE=2S/AB, AB=PC=√2
PE=CE=2S/√2=√2S
(PE+CE+PC)/2= (4S²/√2 +√2)/2 = √2 S²+√2/2
S△PEC =√(4S-1) 海伦公式
PO = 2S△PEC / CE =√(4S²-1) /√2S

V(P-ABC) =1/3*S△ABC*PO
=1/3*S*√(4S²-1) /√2S
= √2/3*√(4S²-1)
≤√2/3*√[4(√5/2)²-1]=2√2 /3

追问

方法对了 但结果你算错 谢谢了啊 我算出来了

Answer 2

解：

答：三棱锥体积的最大值为1.