Question

已知向量a=(cosx/2,sinx/2),b=（cos3/2x,-sin3/2x),且x属于（-π/4,π/4）此为闭区间

(1)求向量a*b及a+b绝对值（用x表示）
（2）求函数f(x)=(a*b)的二次方加上（a+b的绝对值*sinx）的最大值及相应的x值

Answer 1

已知向量a=(cosx/2,sinx/2),b=（cos3/2x,-sin3/2x),
（1） 向量a*b
=cosx/2*cos3/2x-sinx/2*sin3/2x
=cos(x/2+3/2x)
=cos2x
|a+b|=根号[(cosx/2+cos3/2x)^2+(sinx/2-sin3/2x)^2]
=根号[2+2(cosx/2*cos3/2x-sinx/2*sin3/2x)]
=根号[2+2cos2x]
=根号[2(1+2cos^2x-1)]
=根号4cos^2x 且x属于【-π/4，π/4】 2x属于【-π/2，π/2】 cos2x>=0
=2cosx

（2）f(x)=(cos2x)^2+2cosx*sinx
=1-(sin2x)^2+sin2x
令sin2x=t t∈【-1,1】
y=-t^2+t+1
=-(t^2-t+1/4)+5/4
=-(t-1/2)^2+5/4
t=1/2 ymax=5/4
sin2x=1/2 2x=π/6 x=π/12

Answer 2

(1)向量a.b=cosx/2cos3x/2+sinx/2(-sin3x/2)=cos[x/2+3x/2]=cos2x
a+b=(cosx/2+cos3x/2,sinx/2-sin3x/2)
=(2cos[(x/2+3x/2)/2]cos[(x/2-3x/2)/2],2cos[(x/2+3x/2)/2]sin[(x/2-3x/2)/2]
=(2cos2xcosx,-2cos2xsinx)
la+bl=√[(2cos2xcosx）² + （-2cos2xsinx) ² ]=2lcos2xl
(2)f(x)=(a*b)的二次方加上（a+b的绝对值*sinx)
=cos² 2x+2lcos2xlsinx
=lcos2xl[lcos2xl+2sinx]
=