Question

高一数学 第七题

Answer 1

这个题目如果用一般的理论思维似乎并不好解决，因为题目很抽象，那么我们改变一下思维方向，可以用特殊的例子来探讨这个问题。列举一个迎合题目的例子就迎刃而解了。

        y=x³（x∈R）的图像称为立方抛物线（如左图）；y=x²（x∈R）的图像称为抛物线（如右图）

将这两个函数的图像表示在一个坐标系中，如下图：

可以看到这两个函数的图像正好符合题目的意思：y=x³为单调奇函数，y=x²为偶函数且在［0，+∞）上与y=x³的图像重合。 再在图像上标出a,b的位置关系，根据几何直观我们就可以得出只有①③是正确的。

Answer 2

既然 g(x) 是偶函数，则有：

g(a) = g(-a)，g(b) = g(-b)

既然 f(x) 是奇函数，则有：

f(a) = -f(-a)，f(b) = -f(-b)

而 g(x) 在 [0,+∞) 与 f(x) 重合，且 f(x) 是单增函数，则有：

g(a) = f(a) < f(b) = g(b)

因此：

f(b) - f(-a) = f(b) + f(a) = -f(-b) +f(a) = f(a) - f(-b) = g(a) + g(b) > 0 （注：f(x) 是单增函数，b>-a，则 f(b) > f(-a)。f(a) =g(a) > f(-a) = -f(a) = -g(a)）

g(a) - g(-b) = g(a) - g(b) < 0，g(b) - g(-a) = g(b) - g(a) > 0

所以：

1. f(b) - f(-a) = g(a) + g(b) >0 > g(a) - g(-b) ，成立；

2. 与 1 的结论刚好相反，因此不成立；

3. f(a) - f(-b) = g(a) + g(b) > g(b) - g(a) = g(b) - g(-a)，成立；

4. 与 3 的结论刚好相反，因此不成立。

即，只有 1、3 两式成立