Question

函数f(x)=2x^2-2ax-2a-1(-1≤x≤1)的最小值为g(a)

求（1）、g(a)。（2）、若g(a)=1/2，求a及此时f(x)的最大值

Answer 1

（1）
f(x)=2x^2-2ax-2a-1
=2（x²-ax+a²/4)-a²/2-2a-1
=2(x-a/2)²)-a²/2-2a-1
当a/2<-1即a<-2时，f(x)在[-1,1]递增
∴g(a)=f(x)min=f(-1)=1
当-1≤a/2≤1即-2≤a≤2时，
g(a)=f(x)min=f(a/2)=-a²/2-2a-1
当a/2>1即a>2时，f(x)在[-1,1]上递减
∴g（a)=f(x)min=f(1)=1-4a
{ 1 (a<-2)
∴g(a)={ -a²/2-2a-1 (-2≤a≤2)
{1-4a (a>2)

(2)
若g(a)=1/2,
a<-2不合题意
-2≤a≤2时，
-a²/2-2a-1=1/2
a²+4a+3=0解得a=-1,a=-4(舍去）
a>2时，
1-4a=1/2,a=1/8（舍去）
综上，a=-1
此时，f(x)=2(x+1/2)²+1/2
x=1时，f(x)max=f(1)=5

Answer 2

1、
f(x)是开口向上，对称轴为x=a/2的抛物线
（1）a/2<-1，即a<-2时，f(x)在[-1,1]上递增，f(-1)最小，
即：g(a)=f(-1)=1；
（2）-1≦a/2≦1，即：-2≦a≦2时，对称轴在区间内，所以：f(a/2)最小，
即：g(a)=f(a/2)=-a²/2-2a-1；
（3）a/2>1，即：a>2时，f(x)在区间[-1,1]上递减，所以，f(1)最小，
即：g(a)=f(1)=-4a+1；
综上，g(a)是一个分段函数：
a<-2时，g(a)=1；
-2≦a≦2时，g(a)=-a²/2-2a-1；
a>2时，g(a)=-4a+1；

2、
（1）a<-2时，g(a)=1≠1/2，舍去；
（2）-2≦a≦2时，g(a)=-a²/2-2a-1=1/2
a²+4a+3=0
a1=-3（舍去），a2=-1
所以,a=-1
（3）a>2时，g(a)=-4a+1=1/2，得：a=1/8（舍去）
综上，a=-1
所以，f(x)=2x²+2x+1，(-1≤x≤1)
开口向上，对称轴为：x=-1/2
离对称轴最远的是x=1，所以，f(x)的最大值为f(1)，f(1)=5
即：f(x)max=5

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O