Question

高中数学习题，求详细的解题过程。

在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知3a cosA=c乘以 cosB+b 乘以cosC.
（1）求角cosA的大小
（2）求a=1,cosB+cosC等于三分之二倍根号三,求边c的取值范围

Answer 1

3a cosA=c乘以 cosB+b 乘以cosC
3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
cosA=1/3

诱导公式cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C)
故 cos(B+C)=-1/3
两角和公式cos(B+C)=cosBcosC-SinBsinC=-1/3代入下式
(cosB+cosC)^2=cosB^2+cosC^2+2cosBcosC=4/3
得：1-sinB^2+1-sinC^2+2SinBsinC-2/3=4/3
即-(sinB-sinC)^2=0
B=C，等腰三角形，cosB=cosC,ABC全锐角
则c=asinC/sinA=1*√6/3/（2*√2/3）=√3/2

Answer 2

解答：由正弦定理，a = 2RsinA 、b =2R sinB 、c= 2R sinC代入可知：
3sinAcosA =sinCcosB+sinBcosC
3sinAcosA = sin（B+C) =sinA
cosA = 1/3
2）由第一问可知： cosA = 1/3 sinA =2√2/3
cosB+cosC=2√3/3
而cosB = -cos（A+C) = sinAsinC-cosAcosC = 2√2/3 sinC -1/3 cosC
代入上式，可得：cosC+√2sinC = √3
代入sinC^2 +cosC^2 =1
可得sinC = √6/3
由正弦定理 a/sinA = c/sinC
可得：c = √3/2

Answer 3

用于弦定理和正弦定理代入化简就可以了，这种题要自己多动手哦