Question

已知椭圆x²/16+y²/9=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，

若P,F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，则P的纵坐标为

Answer 1

椭圆中，a=4，b=3，c²=16-9=7，设P(x，y)，则点P到x轴的距离为|y|。
分两种情况。
(1)若P是直角顶点，则　PF1⊥PF2，|PF1|²+|PF2|²=4c²
4a²=(|PF1|+|PF2|)²=|PF1|²+|PF2|²+2|PF1|•|PF2|=4c²+2|PF1|•|PF2|
即 64=28+2|PF1|•|PF2|
|PF1|•|PF2|=18
设⊿PF1F2的面积为S，则2S=|PF1|•|PF2|=|F1F2|•|y|
所以|y|=9√7/7
由于|y|²=81/7>9，|y|>3，不合题意，舍去。
(2)若一焦点（如F2)是直角顶点，则　PF2⊥F1F2，|PF1|²-|PF2|²=4c²
(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=4c²
8(|PF1|-|PF2|)=28，|PF1|-|PF2|=7/2
又|PF1|+|PF2|=8
所以|PF2|=9/4，即|y|=9/4
点P到x轴的距离为9/4