Question

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函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x+1）=f（1-x）成立，若当x∈[0,1]时，f（x）=loga（x+1）,a＞1
（1）求f（10）的值
（2）求x∈[2011,2013]时，函数f（x）的表达式
（3）若函数f（x）的最大值为1/2，解关于x的不等式f（x）＞1/4
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求第三问啊= =

Answer 1

（1）由f（x+1）=f（1-x）且f（x）是奇函数，可得f（x+1）=-f（x-1）。取x=9、7、5、3、1，可得f（10）=-f（8），f（8）=-f（6），f（6）=-f（4），f（4）=-f（2），f（2）=-f（0）。所以，f（10）=-f（0），而f（0）=loga（0+1)=0,所以f（10）=0，
（2）从第一问的推导可以看出f（x）是以4为周期的函数，2011÷4余数是3，所以区间[2011,2013]上的函数图象应该和区间[3,5]上的函数图象相同。再往左推一个周期，即和[-1,1]区间相同。而在[0,1]区间上函数表达式是f（x）=loga（x+1）,（a＞1，x∈[0,1]）。且f（x）是奇函数。所以在[-1,0]上函数图象是f（x）=-loga（x+1）,（a＞1,x∈[-1]）。所以[2011,2013]上函数表达式是f（x）=loga（x+1）,（a＞1，x∈[2011,2012]），f（x）=-loga（x+1）,（a＞1，x∈[2012,2013]。
（3）由f（x+1）=-f（x-1）可看出，函数是关于x=1对称的，画出函数图象可以看出，在(-1,3]周期内，f（1）最大，即loga（1+1）=1/2，解得a=4，在（-1,1]内，要使log4（x+1）＞1/4，x要大于根号2，由函数关于x=1对称，可以得到[1,3）内，x要＜2-根号2，综合起来，x取值范围是（根号2,2-根号2）区间内，并可以以4为周期取到其他区间。

Answer 2

函数f（x）是定义在R上的奇函数 f(-x)=f(x)
f(x+4)=f[x+3)+1]=f[1-3-x]=-f(x+2)=-f[(x+1)+1]=-[f(1-1-x)=-f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的函数
⑴f(2)=-f(-2)=-f(-2+4)=-f(2) ∴f(2)=0
f(10)=f(2×4+2)=f(2)=0
⑵2011=503×4-1 2013=503×4+1
∴x∈[2011,2012] f(x)=-loga [1-(x-2012)]=-loga (2013-x)
x∈[2012,2013] f(x)=loga [1+(x-2012)]=loga (x-2011)
⑶∵f（x+1）=f（1-x）∴f(x)关于直线x=1对称
∴f（x）在[0，1]上是增函数[1，2]是减函数
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（x）在[-1，0]上是增函数[-2，-1]是减函数
f（x）在一个周期[-2,2]内在X=1处取最大值X=-1最小值
f(1)=1/2 loga 2=1/2 a=4
在一个周期内[-2,2] 解 f(x)>1/4
∴√2-1＜x＜3-√2
∵f(x)是周期为4的函数
∴f(x)>1/4 的解 (4k＋√2－1,4k＋3－√2) k∈Z

Answer 3

根据f（x+1）=f（1-x），可以推出f（x）是周期为4的奇函数。剩下的你自己会解。