Question

高一数学题，在线等

已知函数f(x)=(e^x-1)/(e^x+1)
（1）判断f（x）的单调性，并证明
（2）若f（x）＞-m∧2+2bm-1对所有x∈R,b∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围
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Answer 1

(1)f(x)=(e^x+ 1- 2)/(e^x +1)=1 -2/(e^x +1)，是R上的增函数．
设　x1<x2，因为e>1，所以　e^x1 +1<e^x2 +1，
从而　2/(e^x1 +1) >2/(e^x2 +1)，
于是　1- 2/(e^x1 +1) <1- 2/(e^x2 +1)，
即　f(x1)<f(x2)，
f(x)在R上是增函数．
(2)f(x)>-m²+2bm -1，x∈R,b∈[-1,1]
而　f(x)∈(-1，1)
从而　-1≥-m²+2bm -1，b∈[-1,1]
即　m²-2bm≥ 0，b∈[-1,1]
令g(b)=m²-2bm，b∈[-1,1]，则g(b)是单调函数
从而　g(-1)=m²+2m≥0，且g(1)=m²-2m≥0
解得m≤-2或m≥2

Answer 2

（1）f(x) =(e^x-1)/(e^x+1)=1-2/(e^x+1)，可知f(x)=(e^x-1)/(e^x+1)在R上单调递增，可用定义证明。
（2）由f(x)=1-2/(e^x+1)>-1知，f(x)＞-m²+2bm-1对所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，
等价于-1≥ -m²+2bm-1对所有b∈[-1，1]恒成立，
即g(b)=m²-2bm≥0对所有b∈[-1，1]恒成立，
所以，g(1)=m²-2m≥0且g(-1)=m²+2m≥0，解得m≥2，或m=0，或m≤-2。

Answer 3

1 单调递增。f=1-2/（e^x+1），设m＜n，f（m）-f（n）=2（e^m-e^n）/[(e^m+1)(e^n+1)]
显然，e^m-e^n＜0，所以f（m）＜f(n) 得证
2 代入整理得m²-2bm＞0，0是一个根，另一个是2b，故而m＜-2或m＞2即可（在两根外二次函数值大于零）

Answer 4

(1)设x1<x2,分别代入f(x),不难得出f(x1)<f(x2),所以f（x）为单调增函数,上限为1,下限为-1.
(2)f（x）＞-m∧2+2bm-1对所有x∈R,b∈[-1,1]恒成立,只要选-f(x)+m∧212bm+1>0即可.

Answer 5

（1）对函数求一阶导数，f ’(x)=[(e^x-1)‘(e^x+1) - (e^x-1)(e^x+1)‘]/(e^x+1)^2 = 2e^x/(e^x+1)^2
因为e^x永远大于零，分母是平方数，也大于零，所以整个函数大于零，f(x)为单调递增。
（2）见其他回答。

Answer 6

解：（1）
f（x）=1-2/(e^x+1)
f‘（x）=4e^x/(e^x+1)²>0
∴f(x)单调递增
(2)
sorry 不会哈 f（x）最大值最小值求不了啊