Question

若半径为r的圆C，x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为

d,其中D^2+E^2=F^2,且F>0（1）求F范围
（2）求证：d^2-r^2为定值
（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？请说明理由！

Answer 1

把圆心(-D/2,-E/2)代入点到直线距离公式，得d=|-D²/2-E²/2+F|/√(D²+E²)，把D²+E²=F²代入，得d=|F²-2F|/|2F|，所以d²=(F²-2F)²/4F²，r²=F²/4-F，所以d²-r²=[(F²-2F)²-F²(F²-4F)]/4F²=1，是定值。

圆C，x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆心C（D/2,E/2），半径r^2=（D²+E²）/4 -F=F²/4-F＞0，有F＞0，得F＞4
d=|Dx+Ey+F|/√(D²+²E²)=|F/2+1|
设存在⊙M：（x+A）²+（y+B）²=R²，只要有一个⊙M既与直线l相切又与圆C相离即可。
∵定圆M与直线l相切
∴D=|DA+EB-F|/√(D²+²E²)=|(DA+EB)/F-1|=固定值
假设A=B=0，则D=1
∵定圆M与圆C相离
∴|CM|>r+R，√【（D/2+A）²+（E/2+B）²】=|F/2|＞√（F²/4-F）＋R
∴0＜R＜|F/2|-√（F²/4-F）=√F²/4 - √（F²/4-F）
显然，只要F＞0，就有F²/4＞F²/4-F，即√F²/4 - √（F²/4-F）＞0
而F＞4，所以存在这样一个⊙M，
圆心M（0,0），半径R＜|F/2|-√（F²/4-F）

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