Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A,B,C的对边，a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,△

ABC面积为6，D为△ABC内任一点，D到三边距离之和为d 求d的取值范围

Answer 1

解：（1）由a2-c2=b2-8bc5
变形得b2+c2-a22bc=45，利用余弦定理得cosA=45
因为A∈（0，π），所以sinA=1-cos2A=1-(45)2=35；
（2）∵S△ABC=12bcsinA=12bc•35=6，∴bc=20
由b2+c2-a22bc=45及bc=20与a=3
解得b=4，c=5或b=5，c=4；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，
则S△ABC=12(3x+4y+5z)=6
d=x+y+z=125+15(2x+y)又x、y满足3x+4y≤12x≥0y≥0
由d=125+15（2x+y）得到y=-2x+5d-12，画出不等式表示的平面区域得：y=-2x+5d-12是斜率为-2的一组平行线，
当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=125；
当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4．，0）代入即可求得d=4，
所以满足题意d的范围为：125＜d＜4